Question

已知函數(shù)f（x）=-x³-2ax²-a²x+1-a（其中a＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線5x+y-12=0平行．
（1）求實數(shù)a的值及該切線方程；
（2）若對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，求實數(shù)M的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)，因為切線與直線5x+y-12=0平行得到兩條直線斜率相等，得到切線的斜率為-5即f'（2）=-5，解出a即可，且得到f（2）=0，然后寫出切線方程即可；
（2）求出f'（x）=0時x的值，利用x的值找出范圍討論函數(shù)的增減性求出函數(shù)的最值，利用最大值減最小值得到M的最小值．

解答：解：（1）由f（x）=-x³-2ax²-a²x+1-a得f'（x）=-3x²-4ax-a²
由題意f'（x）=-5，∴-3×4-8a-a²=-5即a²+8a+7=0
解得a=-1或a=-7，∵a＞-2，∴a=-1
∴f（x）=-3x³+2x²-x+2，∴f（2）=0
切線方程為：y=-5（x-2）即5x+y-10=0
（2）由（1）知f'（x）=-3x²+4x-1，令f′(x)=0得x1=

1

3

，x2=1
當x變化時f'（x），f（x）隨x變化的情況如下表

由表可知f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值f(

1

3

)=

50

27

，
最大值為f（0）=f（1）=2
∵對任意的x₁，x₂∈[0，1]，f（x）=|2-

50

27

|=

4

27

∵|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，
∴M的最小值為

4

27

點評：考查學生理解函數(shù)恒成立的條件，理解導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求函數(shù)最值的能力．