設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)lnx＜ax對于x∈（0，+∞）上恒成立時，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若k，n∈N*，且1≤k≤n，證明：
1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 )n
+…+
1
(1+
n
n
)n
＞
1
e-1
．
（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=
1
x
-a（x＞0）
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0可得0＜x＜
1
a
，由f′（x）＞0可得x＞
1
a
，
∴當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，
1
a
），單調(diào)減區(qū)間是（
1
a
，+∞）；
（Ⅱ）lnx＜ax對于x∈（0，+∞）上恒成立，等價于f（x）max＜0
由上知，a≤0時，不成立；
a＞0時，f(x)max=f(
1
a
)=ln
1
a
-1＜0，∴a＞
1
e
；
（Ⅲ）證明：∵函數(shù)f（x）=lnx-ax，由（Ⅱ）知，a=1時，f(x)max=f(
1
a
)=ln
1
a
-1=-1
∴l(xiāng)nx-x＜-1
∴l(xiāng)nx＜x-1
令x=1+
k
n
，則ln(1+
k
n
)＜
k
n
，∴nln(1+
k
n
)＜k，∴ln(1+
k
n
)n＜k
∴(1+
k
n
)n＜ek，∴
1
(1+
k
n
)n
＞
1
ek

∴
1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 )n
+…+
1
(1+
n
n
)n
＞
1
e
+
1
e2
+…+
1
e2
+
1
2n
=
1
e
(1-
1
en-1
)
1-
1
e
+
1
2n

當(dāng)n→+∞時，
1
e
(1-
1
en-1
)
1-
1
e
→
1
e-1
．
∴
1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 )n
+…+
1
(1+
n
n
)n
＞
1
e-1
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2
（I）若當(dāng)x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln
e2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
2x
x+2
，證明：當(dāng)x＞0時，f（x）＞0；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為P．證明：P＜(
9
10
)19＜
1
e2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•楊浦區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x2-x-6）的定義域為集合A，集合B={x|
5x+1
＞1}．請你寫出一個一元二次不等式，使它的解集為A∩B，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2(a＞
2
)，
（1）若a=
3
2
，解關(guān)于x不等式f(e
x
-
3
2
)＜ln2+
1
4
；
（2）證明：關(guān)于x的方程2x2+2ax+1=0有兩相異解，且f（m）和f（n）分別是函數(shù)f（x）的極小值和極大值（m，n為該方程兩根，且m＞n）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+2x2．
（1）若當(dāng)x=-1時，f（x）取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，方程ln（x+a）+2x2-m=0恰好有三個零點，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)0＜a＜1時，解不等式f（2x-1）＜lna．

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同步練習(xí)冊答案