Question

（本題滿分12分）. 已知函數(shù)

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)都有成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）記，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+）,單調(diào)遞減區(qū)間（0,2）；

（2）a的取值范圍(0, )；(3) 的取值范圍是.

【解析】(1)由題意可知據(jù)此可建立關(guān)于a的方程求出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)大（小）于零，來求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間.

(2)本小題的實(shí)質(zhì)是都有成立,即,然后利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)在上單調(diào)性求出f(x)的最小值，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式求出a的范圍.

（3）當(dāng)=1時(shí)，=，(x>0)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和極值，畫出草圖，從圖象上分析函數(shù)f(x)的圖像與x軸有兩個(gè)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足的條件,從而得出b的取值范圍.

(1) 直線的斜率為1.

函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915512753519460/SYS201211191552564257128365_DA.files/image015.png">，，

所以，解得                         ………2分

 所以,

，得x>2; 得0<x<2

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+）,單調(diào)遞減區(qū)間（0,2）     ………4分

（2）==，，

得，得

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（，+）,單調(diào)遞減區(qū)間（0, ）

當(dāng)x=時(shí)， 取極小值，也就是最小值=           ………6分

 對(duì)都有成立，∴>2(

>2(,………8分

∴,  ,.實(shí)數(shù)a的取值范圍(0, )           ………9分

(3) 當(dāng)=1時(shí)，=，(x>0)

 =，由>0得x>1, 由<0得0<x<1.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+）,單調(diào)遞減區(qū)間（0, 1）

x=1時(shí)取得極小值. ………10分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以……………11分

解得.

所以的取值范圍是.                         ……………12分