Question

12．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足條件$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4n+2}{n+1}$，n=1，2，…
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=$a_n（\frac{1}{2}）^{a_n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）將n=1代入已知遞推式，易得a₂，從而求出d，故a_n可求；
（2）求出b_n，然后利用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4n+2}{n+1}$得：
$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，a₁=1，
所以a₂=2，
即d=a₂-a₁=1，
所以a_n=n．
（2）由b_n=a_n（$\frac{1}{2}$^）a_n，得b_n=n$\frac{1}{2}$ⁿ．
所以T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）^n-1+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①；
  $\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）²+2（$\frac{1}{2}$）³+3（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-n（\frac{1}{2}）^{n+1}$=1-$（\frac{1}{2}）^{n}-n（\frac{1}{2}）^{n+1}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系的觀察能力和利用錯(cuò)位相減法求和的能力，難度中等．