Question

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：
（1）對(duì)于任意x∈（0，1），總有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）；
（Ⅰ）證明f（x）在[0，1]上為增函數(shù)；
（Ⅱ）若對(duì)于任意x∈[0，1]，總有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）比較f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)與1的大小，并給與證明．

Answer 1

證明：（Ⅰ）設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，則x₂-x₁∈（0，1）
∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在[0，1]上是單調(diào)遞增的
（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函數(shù)，則f（x）≤f（1）=1?1-f（x）≥0，
當(dāng)f（x）≤f（1）=1時(shí)，容易驗(yàn)證不等式成立；
當(dāng)f（x）＜1時(shí)，則
4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0?a≤

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

對(duì)x∈[0，1]恒成立，
設(shè)y=

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

=1-f(x)+

1

4[1-f(x)]

≥1，從而則a≤1
綜上，所求為a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

----------①，
則

1

2

Sn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

--------------②，
由①-②得，

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

，即，S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1
所以f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)＜f(1)=1．