已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.

(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;

(Ⅱ)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點A,B,l2與軌跡C相交于點D,E,求的最小值.

 

【答案】

(Ⅰ)當x≥0時,y2=4x;當x<0時,y=0;(Ⅱ)16.

【解析】

試題分析:(Ⅰ)要求動點P的軌跡C,設(shè)動點P的坐標為(x,y),根據(jù)題意列出關(guān)系式-|x|=1,化簡得y2=2x+2|x|,式中有絕對值,需要根據(jù)x討論為當x≥0時,y2=4x;當x<0時,y=0;(Ⅱ)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0,可以設(shè)為k,則l1的方程為y=k(x-1),聯(lián)立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,接著設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.而l1⊥l2,則l2的斜率為-,設(shè)D(x3,y3),E(x4,y4),則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1,利用坐標表示出,化簡得=8+4(k2)≥8+4×2=16,故當且僅當k2,即k=±1時,取最小值16.

試題解析:(Ⅰ)設(shè)動點P的坐標為(x,y),由題意有

-|x|=1,

化簡,得y2=2x+2|x|.

當x≥0時,y2=4x;當x<0時,y=0.

∴動點P的軌跡C的方程為y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).

(Ⅱ)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l1的方程為y=k(x-1).

得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,于是

x1+x2=2+,x1x2=1.

∵l1⊥l2,∴l(xiāng)2的斜率為-

設(shè)D(x3,y3),E(x4,y4),則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.

=()·()=····

=||||+||||

=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)

=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1

=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1

=8+4(k2)≥8+4×2=16.

當且僅當k2,即k=±1時,取最小值16.

考點:1.曲線的軌跡方程求解;2.直線與圓錐曲線問題.

 

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(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線交軌跡C于A,B兩點,交直線x=-1于M點,且
MA
=λ1
AF
,
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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OM
=
OA
OB
,求λ的值.

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(2012•汕頭二模)已知平面內(nèi)一動點 P到定點F(0,
1
2
)
的距離等于它到定直線y=-
1
2
的距離,又已知點 O(0,0),M(0,1).
(1)求動點 P的軌跡C的方程;
(2)當點 P(x0,y0)(x0≠0)在(1)中的軌跡C上運動時,以 M P為直徑作圓,求該圓截直線y=
1
2
所得的弦長;
(3)當點 P(x0,y0)(x0≠0)在(1)中的軌跡C上運動時,過點 P作x軸的垂線交x軸于點 A,過點 P作(1)中的軌跡C的切線l交x軸于點 B,問:是否總有 P B平分∠A PF?如果有,請給予證明;如果沒有,請舉出反例.

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,,

的值。

 

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(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線交軌跡C于A,B兩點,交直線x=-1于M點,且
MA
=λ1
AF
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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