Question

6．${（1+x）^5}{（1+\frac{1}{x}）^5}$的展開式中的常數項為252．

Answer 1

分析 ${（1+x）^5}{（1+\frac{1}{x}）^5}$=$（2+x+\frac{1}{x}）^{5}$展開式中的通項公式：T_r+1=${∁}_{5}^{r}{2}^{5-r}（x+\frac{1}{x}）^{r}$，$（x+\frac{1}{x}）^{r}$的通項公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}{x}^{r-k}（\frac{1}{x}）^{k}$=${∁}_{r}^{k}$x^r-2k．令r-2k=0，r=0，1，2，3，4，5；k∈N，k≤r．即可得出．

解答 解：${（1+x）^5}{（1+\frac{1}{x}）^5}$=$（2+x+\frac{1}{x}）^{5}$展開式中的通項公式：T_r+1=${∁}_{5}^{r}{2}^{5-r}（x+\frac{1}{x}）^{r}$，
$（x+\frac{1}{x}）^{r}$的通項公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}{x}^{r-k}（\frac{1}{x}）^{k}$=${∁}_{r}^{k}$x^r-2k．
令r-2k=0，r=0，1，2，3，4，5；k∈N，k≤r．
則r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．
∴${（1+x）^5}{（1+\frac{1}{x}）^5}$的展開式中的常數項=$1×{∁}_{5}^{0}×{2}^{5}+{{∁}_{5}^{2}×{2}^{3}×∁}_{2}^{1}$+${∁}_{5}^{4}×2×{∁}_{4}^{2}$=252．
故答案為：252．

點評 本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．