Question

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）線段ED上是否存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用已知AC⊥FB和線面垂直的判定定理即可證明；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量是否垂直即可．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=3BC²，
∴AC²+BC²=4BC²=AB²，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，F(xiàn)B∩BC=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）
線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC．
證明如下：
因為AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因為CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．
所以CA，CF，CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
設(shè)BC=1，所以C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)．
所以

CE

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CA

=(

3

，0，0)，

CB

=(0，1，0)．
設(shè)平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • CE =0 n • CA =0

，
所以

3 2 x- 1 2 y+z=0 3 x=0

取z=1，得

n

=（0，2，1）．
假設(shè)線段ED上存在點Q，設(shè)Q(

3

2

，-

1

2

，t)(0≤t≤1)，所以

CQ

=(

3

2

，-

1

2

，t)．
設(shè)平面QBC的法向量為

m

=（a，b，c），則

m • CB =0 m • CQ =0

所以

b=0 3 2 a- 1 2 b+tc=0

取c=1，得

m

=(-

2t

3

，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需

m

•

n

=0，
即 -

2

3

t×0+0×2+1×1=0，此方程無解．
所以線段ED上不存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC．

點評：本題綜合考查了線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、通過距離空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量解決面面垂直等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．