Question

16．點(diǎn)P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$右支上的一點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓I與x軸相切于點(diǎn)A，過(guò)F₂作PI的垂線，重足為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么$\frac{{|{OA}|}}{{|{OB}|}}$的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{a}$
• D． $\frac{a}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用切線長(zhǎng)定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|AF₁|-|AF₂|=2a，從而求得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個(gè)等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，從而解決問(wèn)題．

解答 解：F₁（-c，0）、F₂（c，0），內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)A
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圓的切線長(zhǎng)定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，
則|（x+c）-（c-x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在△PCF₂中，由題意得，F(xiàn)₂B⊥PI于B，延長(zhǎng)交F₁F₂于點(diǎn)C，利用△PCB≌△PF₂B，可知|PC|=|PF₂|，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
丨OB丨=$\frac{1}{2}$丨CF₁丨=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨-丨PC丨）=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨-丨PF₂丨）=$\frac{1}{2}$×2a=a．
∴|OB|=|OA|．
$\frac{{|{OA}|}}{{|{OB}|}}$=1
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、切線長(zhǎng)定理．解答的關(guān)鍵是充分利用平面幾何的性質(zhì)，如三角形內(nèi)心的性質(zhì)等，屬于中檔題．