已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且.
⑴證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并寫出通項公式；
⑵若對恒成立，求的最小值；
⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值.

（1）證明見解析，；（2）3；（3）

解析試題分析：（1）要證數(shù)列是等比數(shù)列，可根據(jù)題設(shè)求出，當(dāng)然也可再求，雖然得出的成等比數(shù)列，但前面有限項成等比不能說明所有項都成等比，必須嚴(yán)格證明．一般方法是把已知式中的用代換得到，兩式相減得，這個式子中把用代換又得，兩式再相減，正好得出數(shù)列的前后項關(guān)系的遞推關(guān)系，正是等比數(shù)列的表現(xiàn)．（2）由題間，對不等式用分離參數(shù)法得，求的最小值就與求的最大值（也只要能是取值范圍）聯(lián)系起來了．（3）只能由成等差數(shù)列列出唯一的等式，這個等式是關(guān)于的二元方程，它屬于不定方程，有無數(shù)解，只是由于都是正整數(shù)，利用正整數(shù)的性質(zhì)可得出具體的解．
試題解析：（1）當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時，
當(dāng)n3時，有得：
化簡得：3分
又∴
∴是1為首項，為公比的等比數(shù)列
6分
（2）
∴∴11分
（3）若三項成等差，則有
，右邊為大于2的奇數(shù)，左邊為偶數(shù)或1，不成立
∴16分
考點：（1）等比數(shù)列的通項公式；（2）不等式恒成立與函數(shù)的最值；（3）不定方程的正整數(shù)解問題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是 “平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項公式及Tn關(guān)于n的表達(dá)式.

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已知數(shù)列的前項和為滿足.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.

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數(shù)列{}的前n項和為，．
（Ⅰ）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；
（Ⅲ）若，數(shù)列的前項和，證明：．

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設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和．已知，且構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前n項和.

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設(shè)，，數(shù)列滿足：，.
（Ⅰ）求證數(shù)列是等比數(shù)列（要指出首項與公比）；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式.

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數(shù)列的前n項和為,
（I）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若，數(shù)列的前n項和為，求不超過的最大整數(shù)的值．

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各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，．
（1）求數(shù)列通項公式；
（2）若，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項，…的最小值記為Bn，dn=An－Bn.
(I)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；
(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列；
(III)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項只能是1或2，且有無窮多項為1.

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