Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）時(shí)，則下列所有正確命題的序號是①②③．
①若任意x∈R，則等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
③任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
④存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷①，根據(jù)函數(shù)的圖象判斷②③④

解答 解：f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）的圖象為
對于①，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f（-x）=$\frac{-x}{1+|-x|}$=-$\frac{x}{1+|x|}$=-f（x），
f（x）+f（-x）=0恒成立，故①正確，
對于②，由圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1），
故存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故②正確，
對于③由圖象可知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確，
對于④，分別畫出y=f（x）與y=kx的圖象，由圖象可知，使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有一個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤，

故答案為：①②③

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)圖象及其性質(zhì)，關(guān)鍵是繪制函數(shù)圖象，屬于中檔題．