Question

在邊長為2的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E是BC的中點，F(xiàn)是DD'的中點
（1）求證：CF∥平面A'DE
（2）求二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）分別以DA，DC，DD'為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出各頂點坐標后，進而求出直線CF的方向向量和平面A'DE的法向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到兩個向量垂直后，進而得到CF∥平面A'DE
（2）結(jié)合正方體的幾何特征，可得

DC

=(0，2，0)是面AA'D的法向量，結(jié)合（1）中平面A'DE的法向量為

n

=(-2，1，2)，代入向量夾角公式，即可求出二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．

解答：證明（1）：分別以DA，DC，DD'為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標系，
則A'（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，0，1），…（2分）
則

DA′

=(2，0，2)，

DE

=(1，2，0)，
設(shè)平面A'DE的法向量是

n

=(a，b，c)，
則

n • DA′ =2a+2c=0 n • DE =a+2b=0

，取

n

=(-2，1，2)，…（4分）

CF

=(0，-2，1)，∵

CF

•

n

=-2+2=0，∴

CF

⊥

n

，
所以，CF∥平面A'DE．…（6分）
解：（2）由正方體的幾何特征可得

DC

=(0，2，0)是面AA'D的法向量
又由（1）中向量

n

=(-2，1，2)為平面A'DE的法向量
故二面角E-A'D-A的平面角θ滿足；
cosθ=

DC • n

| DC || n |

=

1

3

即二面角E-A'D-A的平面角的余弦值為

1

3

…（8分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，向量語言表述線面的平行關(guān)系，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，將空間線面關(guān)系及面面夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答本題的關(guān)鍵．