Question

已知函數(shù)（a∈R）．
（1）若a=3，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點（x₀，f（x₀））處切線的斜率都小于2a²，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若?x∈[0，2]，f（x）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)（a∈R），∴f^′（x）=-x²+2x+a．
當a=3時，f^′（x）=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）．
當x∈（-∞，-1）或（3，+∞）時，f^′（x）＜0；當x∈（-1，3）時，f^′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）或（3，+∞）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（-1，3）上單調(diào)遞增．
（2）∵f^′（x）=-x²+2x+a，∴函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點（x₀，f（x₀））處切線的斜率為，
由題意可知：對任意的實數(shù)x₀，恒成立．
即對任意實數(shù)x₀恒成立?，x∈R．
令φ（x₀）=，則φ（x₀）=≤1，∴=1．
∴2a²-a＞1，
解得a＞1，或a＜．
∴a的取值范圍是（-∞，）∪（1，+∞）．
（3）①當x=0時，f（0）=0，∵0＜0不可能，此時不存在a滿足要求；
②當x∈（0，2]時，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]，．
∵φ（x）==，∴φ（x）在區(qū)間（0，）單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，但是φ（0）=0＞φ（2），故φ（x）在區(qū)間（0，2]上無最大值．
經(jīng)驗證a=0 時適合題意．
∴a≤0．
分析：（1）先求導，看其f^′（x）在某區(qū)間上是大于0、還是小于0．即可判斷出單調(diào)區(qū)間．
（2）已知問題?對任意實數(shù)x₀恒成立?，x∈R．解出即可．
（3）對x分x=0 與x∈（0，2]討論，對x∈（0，2]可轉(zhuǎn)化為：當x∈（0，2]時，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]，．求出即可．
點評：本題綜合考查了利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間、恒成立即存在性問題，轉(zhuǎn)化思想是解決問題的關(guān)鍵．