Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB₁∥面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（3）若在線段AB₁上存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC₁，試求AA₁的長及點(diǎn)P的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，由三角形中位線定理，可得OD∥B₁A，結(jié)合線面平行的判定定理可得AB₁∥面BDC₁；
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CC₁，CA，CB方向分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，求出平面C₁DB的法向量和平面BDC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角C₁-BD-C的余弦值；
（3）設(shè)設(shè)，求出CP的方向向量和平面BDC₁的法向量，根據(jù)CP⊥面BDC₁，構(gòu)造關(guān)于a，λ的方程組，解方程組，求出a，λ的值，即可得到AA₁的長及點(diǎn)P的位置．
解答：證明：（1）連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，
則O為B₁C的中點(diǎn)，∵D為AC中點(diǎn)，∴OD∥B₁A，又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥BDC₁    （3分）
解：（2）∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，∴CC₁⊥面ABC，
則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC
如圖建系，則C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）
∴
設(shè)平面C₁DB的法向量為n=（x，y，z）則n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量為∴二面角C₁-BD-C的余弦值：
（8分）
（3）設(shè)，
∴
又面BDC₁，
∴解得
所以AA₁=2，點(diǎn)P位置是在線段AB₁上且．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得OD∥B₁A，（2）（3）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間直線與平面的垂直關(guān)系及二面角問題轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角問題．