Question

已知函數(shù)，其中，記函數(shù)的定義域?yàn)?i>D．

（1）求函數(shù)的定義域D；

（2）若函數(shù)的最小值為，求的值；

（3）若對于D內(nèi)的任意實(shí)數(shù),不等式＜恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) 

(3) (－∞，)∪[，+∞)

【解析】

試題分析：解：（1）要使函數(shù)有意義：則有，解得

∴ 函數(shù)的定義域D為               2分

（2）

    

，，即，  5分

由，得，．       7分

（注：不化簡為扣1分）

（3）由題知－x²+2mx－m²+2m＜1在x∈上恒成立，

－2mx+m²－2m+1＞0在x∈上恒成立，    8分

令g(x)=x²－2mx+m²－2m+1，x∈，

配方得g(x)=(x－m)²－2m+1，其對稱軸為x=m，

當(dāng)m≤－3時(shí)， g(x)在為增函數(shù)，

∴g(－3)= (－3－m)²－2m+1= m²+4m +10≥0，

而m²+4m +10≥0對任意實(shí)數(shù)m恒成立，∴m≤－3．       10分

②當(dāng)－3＜m＜1時(shí)，函數(shù)g(x)在（－3,－1）為減函數(shù)，在（－1, 1）為增函數(shù)，

∴g(m)=－2m+1＞0，解得m＜     ∴－3＜m＜        12分

③當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)g(x)在為減函數(shù)，∴g(1)= (1－m)²－2m+1= m²－4m +2≥0，

解得m≥或m≤，    ∴－3＜m＜         14分

綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (－∞，)∪[，+∞)    16分

考點(diǎn)：函數(shù)的概念和值域，二次函數(shù)的最值

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是利用函數(shù)的概念以及分離參數(shù)的思想來借助于二次函數(shù)的最值得到參數(shù)的范圍。屬于基礎(chǔ)題。