Question

給出定義：若m-

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＜x≤m+

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2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)判斷：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-

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，

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]；
②點(diǎn)（k，0）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心，其中k∈Z；
③函數(shù)y=f（x）的最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）在（

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，

3

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]上是增函數(shù)．
則上述判斷中正確的序號(hào)是

 

．（填上所有正確的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域；根據(jù)f（2k-x）與f（x）的關(guān)系，可以判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否關(guān)于點(diǎn)（k，0）（k∈Z）對(duì)稱；再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；而由①的結(jié)論，易判斷函數(shù)y=f（x）在 （

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，

3

2

]上的單調(diào)性，但要說明④成立．

解答： 解：①中，令x=m+a，a∈（-

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，

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]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-

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，

1

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]
所以①正確；
②中∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=f（-x）
∴點(diǎn)（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心；故②錯(cuò)；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④中，令x∈（

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，

3

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]，m=1，則a∈（-

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，

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]，
f（x）=a，由區(qū)間（

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，

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]上，隨x的增大而增大，故f（x）在區(qū)間（

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，

3

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]上為增函數(shù)，
所以④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)f（x）=x-{x}的性質(zhì)，難度中檔．