Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）+aln（1-x）（a∈R）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求定義域．
（2）求a的值．
（3）若g(x)=ef(x)-

1-m

2+m

有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），即 （1+a）ln（1-x）+（a+1）ln（1+x）=0，即（1+a）ln（1-x²）=0恒成立，由此可得a的值．
（3）由題意可得：ef(x)-

1-m

2+m

=0，在x∈（-1，1）上有解，即：

1+x

1-x

=

1-m

2+m

，解得 x=-

2

3

m-

1

3

 ∈(-1，1)，由此利用不等式的性質(zhì)求得m的范圍．

解答：解：（1）由函數(shù)的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域為（-1，1）．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），即 ln（1-x）+aln（1+x）=-[ln（1+x）+aln（1-x）]，
即 （1+a）ln（1-x）+（a+1）ln（1+x）=0，故（1+a）ln（1-x²）=0恒成立，∴a=-1．
（3）∵f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln

1+x

1-x

，由題意可得：ef(x)-

1-m

2+m

=0，在x∈（-1，1）上有解，
即：

1+x

1-x

=

1-m

2+m

，3x=

1-m

2+m

，3x=-2m-1，
∴x=-

2

3

m-

1

3

 ∈(-1，1)，即 -1＜-

2

3

m-

1

3

＜1，
解得-2＜m＜1，
∴m∈（-2，1）．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，奇函數(shù)的定義，求函數(shù)的零點，不等式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．