Question

已知f(log2x)=ax2-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域；
（3）設(shè)h（x）=2^-xf（x），a＞0時，對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）令t=log₂x，則x=2^t，
故f（t）=a（2^t）²-2•2^t+1-a．
∴f（x）=a（2^x）²-2•2^x+1-a，
（2）再設(shè)m=2^x，則m＞0，y=am²-2m+1-a，
①當(dāng)a=0時，y=-2m+1（m＞0），在（0，+∞）上是減函數(shù)，其值域為（-∞，1）；
②當(dāng)a＞0時，y=am²-2m+1-a的對稱軸m=

1

a

＞0，
故其在（0，

1

a

）上是減函數(shù)，在（

1

a

，+∞）上是增函數(shù)．其值域為（-

1

a

+1-a，+∞）；
③當(dāng)a＜0時，y=am²-2m+1-a的對稱軸m=

1

a

＜0，
故其在（0，+∞）上是減函數(shù)．其值域為（-∞，1-a）；
（3）∵h（x）=a•2^x+（1-a）2^-x-2，
∴h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x，
由h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x=0，得x₀=

1

2

log₂

1-a

a

（0＜a＜1）．
由x₀=

1

2

log₂

1-a

a

＞1得0＜a＜

1

5

，由x₀=

1

2

log₂

1-a

a

＜-1，得a＞

4

5

，
∵h（0）=-1，h（1）=

3

2

（a-1），
由f（1）＞f（0），得

3

2

（a-1）＞-1，得a＞

1

3

．
①當(dāng)0＜a≤

1

5

時，h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x＜0恒成立，函數(shù)h（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴函數(shù)h（x）在[-1，1]內(nèi)的最大值是h（-1）=-

3

2

a，最小值是h（1）=

3

2

（a-1）．
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，
∴-

3

2

a-

3

2

（a-1）≤

a+1

2

，∴a≥2．不合，舍去．
②當(dāng)

1

5

＜a≤

1

2

時，函數(shù)h（x）在[-1，x₀]上是減函數(shù)，在（x₀，1]上是增函數(shù)
∴函數(shù)h（x）在[-1，1]內(nèi)的最大值是h（-1）=-

3

2

a，最小值是h（x₀）=2

a(1-a)

-2．
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，
∴-

3

2

a-2

a(1-a)

+2≤

a+1

2

，
∴

1

2

≥a≥

3

10

．
③當(dāng)

1

2

＜a≤

4

5

時，函數(shù)h（x）在[-1，x₀]上是減函數(shù)，在（x₀，1]上是增函數(shù)
∴函數(shù)h（x）在[-1，1]內(nèi)的最大值是h（1）=

3

2

（a-1），最小值是h（x₀）=2

a(1-a)

-2．
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，
∴

3

2

（a-1）-2

a(1-a)

+2≤

a+1

2

，
∴

1

2

＜a≤

4

5

．
④當(dāng)a＞

4

5

時，h′（x）=aln2•2^x-（1-a）lna•2^-x＞0恒成立，函數(shù)h（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)h（x）在[-1，1]內(nèi)的最大值是h（1），最小值是h（-1）．
∵對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，
∴

3

2

（a-1）+

3

2

a≤

a+1

2

，
∴a≤

4

5

．不合，舍去．
綜上所述，a的取值范圍為[

3

10

，

4

5

]．