Question

【題目】如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，直線、、與邊、、分別交于點(diǎn)、、．設(shè)分別以、為直徑的兩圓交于點(diǎn)、，分別以、為直徑的兩圓交于點(diǎn)、，分別以、為直徑的兩圓交于點(diǎn)、．證明：、、、、、六點(diǎn)共圓．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

首先證明：、、三線共點(diǎn)于，其中，為的垂心．

如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．

則、、共點(diǎn)于，即的垂心．

由，知以、為直徑的圓均過(guò)點(diǎn)、．故為兩圓根軸．

類似地，以、為直徑的圓均過(guò)點(diǎn)、，為兩圓根軸；以、為直徑的圓均過(guò)點(diǎn)、，為兩圓根軸．

由根心定理，知、、三線共點(diǎn)，且與交于點(diǎn)．

故過(guò)點(diǎn)．

由、、、四點(diǎn)共圓．

類似地，、均過(guò)點(diǎn)，有，．

又，故、、、四點(diǎn)共圓于，、、、四點(diǎn)共圓于，、、、四點(diǎn)共圓于．

如圖，設(shè)、、的中點(diǎn)分別為、、，、、的中點(diǎn)分別為、、．

其次證明：、、三線共點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，，所以，為的中垂線．

類似地，為的中垂線，為的中垂線．

故為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)．

又、、共點(diǎn)于，由塞瓦定理得．

再由塞瓦定理的逆定理，知、、三線共點(diǎn)．

因此，、、三點(diǎn)重合．

故、、、、、六點(diǎn)共圓．