Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值，使y=f（x）在其定義域[-5，5]上是偶函數(shù)；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的值域是[1，37]，試求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（I）由f（x）是偶函數(shù)，知f（-x）=f（x） 對任意x成立，可得a的值；
（Ⅱ）由f（x）的圖象是拋物線，且開口向上，區(qū)間[-5，5]在對稱軸一側(cè)時(shí)為單調(diào)函數(shù)，從而得a的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上的單調(diào)性，討論f（x）在[-5，5]上的最值，從而求得a的值．

解答：解：（I）依題意，f（x）在[-5，5]上是偶函數(shù)，∴f （-x）-f （x）=[（-x²）-2ax+2]-（x²+2ax+2）=-4ax=0
 對任意x∈[-5，5]成立，∴a=0；
∴當(dāng)a=0時(shí)，y=f （x）在定義域[-5，5]上是偶函數(shù)；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=x²+2ax+2的圖象是拋物線，且開口向上，對稱軸為x=-a；
∴當(dāng)-a≥5，即a≤-5時(shí)，f（x）圖象在對稱軸的左側(cè)，函數(shù)是減函數(shù)；
當(dāng)-a≤-5，即a≥5時(shí)，f（x）圖象在對稱軸的右側(cè)，函數(shù)是增函數(shù)；
所以f （x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)時(shí)，a的取值范圍是：{a|a≤-5，或a≥5}．
（Ⅲ）當(dāng)-a≤-5，即a≥5時(shí)，函數(shù)f（x）在[-5，5]上是增函數(shù)，
∴

f(x)max=f(5)=27+10a=37得a=1 f(x)min=f(-5)=27-10a=1得a=2.6

，不滿足條件；
當(dāng)-5＜-a≤0，即0≤a＜5時(shí)，函數(shù)f（x）在[-5，5]上是先減后增，
∴

f(x)max=f(5)=27+10a=37得a=1 f(x)min=f(-a)=2-a2=1得a=±1

，∴a=1；
當(dāng)0＜-a＜5，即-5＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[-5，5]上也是先減后增，
∴

f(x)max=f(-5)=27-10a=37得a=-1 f(x)min=f(-a)=2-a2=1得a=±1

，∴a=-1；
當(dāng)-a≥5，即a≤-5時(shí)，函數(shù)f（x）在[-5，5]上是減函數(shù)，
∴

f(x)max=f(-5)=27-10a=37得a=-1 f(x)min=f(5)=27+10a=1得a=-2.6

，不滿足條件；
綜上，所求實(shí)數(shù)a的值為：a=±1．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性與最值問題，當(dāng)二次函數(shù)圖象的對稱軸不確定時(shí)，需要討論對稱軸在區(qū)間內(nèi)、還是區(qū)間外．