Question

 （注意：在試題卷上作答無效）

如圖，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB＝120°，PM＝AC＝1，BC＝2，異面直線AM與直線PC所成的角為60°.

（1）求二面角M－AC－B大小的正切值；

（2）求三棱錐P－MAC的體積.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：方法一：（1）取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN.由已知，PMCN，則MNPC，所以MN⊥平面ABC.過點(diǎn)N作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連結(jié)MH，由三垂線定理知，AC⊥MH.所以∠MHN為二面角M－AC－B的平面角.連結(jié)AN，在△ACN中，由余弦定理，得.

由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.在Rt△CHN中，.           

在Rt△MNH中，.

故二面角M－AC－B的正切值是.     ……6分                               

（2）因?yàn)樗倪呅蜳CNM為正方形，MN⊥平面ABC，則

.  ……12分      

方法二：（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)C作CB的垂線，

按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.      

設(shè)點(diǎn)，由已知可得，點(diǎn)，

，則.

因?yàn)橹本�AM與直線PC所成的角為60°，則

，即.

解得z0＝1，從而.   

設(shè)平面MAC的一個法向量為n，則，即.

取，則n.    又m＝(0，0，1)為平面ABC的一個法向量，設(shè)向量m與n的夾角為θ，則.從而.    顯然，二面角M－AC－B的平面角為銳角，故二面角M－AC－B的正切值是. ……6分

（Ⅱ）因?yàn)閍＝(1，0，0)為平面PCM的一個法向量，，則

點(diǎn)A到平面PCM的距離.    

又PC＝PM＝1，則.   (12分)