設a>0,b>0,給出下列命題:
①若2a+2a=2b+3b,則a>b; ②若2a+2a=2b+3b,則a<b;
③若2a-2a=2b-3b,則a>b; ④若2a-2a=2b-3b,則a<b;
其中真命題是 .(填序號)
【答案】
分析:利用導數(shù)得出函數(shù)的單調性和圖象,進而即可得出結論.
解答:解:對于①②考查函數(shù)f(x)=2
x+2x,g(x)=2
x+3x的單調性與圖象:
可知函數(shù)f(x)、g(x)在R上都單調遞增,
若2
a+2a=2
b+3b,則a>b,因此①正確;
對于③④分別考查函數(shù)u(x)=2
x-2x,v(x)=2
x-3x單調性與圖象:
,當
時,u
′(x)<0,函數(shù)u(x)單調遞減;當
時,u
′(x)>0,函數(shù)u(x)單調遞增.
故在x=
取得最小值
.
,當
時,v
′(x)<0,函數(shù)v(x)單調遞減;當
時,v
′(x)>0,函數(shù)v(x)單調遞增.
故在
取得最小值
.
據(jù)以上可畫出圖象.
據(jù)圖象可知:
當2
a-2a=2
b-3b,a>0,b>0時,
可能a>b或a<b.
因此③④不正確.
綜上可知:只有①正確.
故答案為①.
點評:熟練利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和圖象是解題的關鍵.