Question

已知．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＞0在定義域上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求定義域，看其定義域是否關(guān)于原點對稱，求出f（-x）與f（x）的關(guān)系，再根據(jù)偶函數(shù)的定義進行判定即可；
（2）本題可從a的值與1的大小入手，考慮a＞1與0＜a＜1兩種情況，綜合運用分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．
解答：解：（1）由a^x-1≠0得x≠0，即函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}（2分）
對于定義域的任意x，
有===，
∴f（x）為偶函數(shù)（6分）
（2）當(dāng)a＞1時，若x＞0則a^x＞1
∴a^x-1＞0，∴，
又x＞0，∴f（x）＞0又f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x＜0時，-x＞0有，f（x）=f-x）＞0，
當(dāng)0＜a＜1時x，
當(dāng)x＞0時0＜a^x＜1，-1＜a^x-1＜0，則∴f（x）＜0不滿足題意
又f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時-x＞0，有f（x）=f-x）＜0不滿足題意．
綜上可知：a＞1．
點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)奇偶性的判定和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．