Question

已知函數(shù)f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（I）若x=1是函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]（其中為e自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，其定義域?yàn)椋?，+∞），知，，由x=1是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)，知3-a²=0，由此能求出a．
（Ⅱ）對(duì)任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）成立等價(jià)于f（x）_max＜g（x）_max．當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，，故函數(shù)g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數(shù)，g（x）_max=g（e）=e+1．由此能求出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵，其定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
∴，…（2分）
∵x=1是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)，
∴h'（1）=0，即3-a²=0
∵a＞0，∴．                                          …（4分）
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，x=1是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)，
∴…（5分）
（Ⅱ）對(duì)任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）
成立等價(jià)于f（x）_max＜g（x）_max…（6分）
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，，
∴函數(shù)g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數(shù)，
∴g（x）_max=g（e）=e+1…（7分）
，x∈[1，e]，a＞0
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，x∈[1，e]，，
∴函數(shù)在[1，e]上是增函數(shù)，
∴＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立，滿足題意；       …（9分）
②當(dāng)1＜a＜e時(shí)，若1≤x＜a，則，
若a＜x≤e，則
∴函數(shù)在[1，a）上是減函數(shù)，在（a，e]上是增函數(shù)，
而f（1）=1+a²，
a）f（1）＜f（e）即時(shí)，
，＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立；
b）f（1）≥f（e）即時(shí)，
f（x）_max=f（1）=1+a²
此時(shí)，f（x）_max≥g（x）_max，不合題意；               …（12分）
③當(dāng)a≥e時(shí)，x∈[1，e]，，
∴函數(shù)在[1，e]上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（1）=1+a²
此時(shí)，f（x）_max＞g（x）_max，不合題意；                    …（13分）
綜上知，a的取值范圍為．                             …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．