對于四面體ABCD，給出下列四個命題：

①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；

②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.

其中真命題的序號是________．(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)


①④

[解析]　本題考查四面體的性質(zhì)，取BC的中點(diǎn)E，

則BC⊥AE，BC⊥DE，

∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD，故①正確．

設(shè)O為A在面BCD上的射影，依題意OB⊥CD，OC⊥BD，

∴O為垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正確，

②③易排除，故答案為①④.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖所示，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的圖的序號都填上)

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如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為(　　)

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．異面直線PM與BD所成的角為45°

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已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，則(　　)

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α與β相交，且交線垂直于l

D．α與β相交，且交線平行于l

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已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，下列四個命題：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；

②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；

④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n.

其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號)．

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正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為(　　)

A．1:1                                                           B．1:2

C．2:1                                                           D．3:2

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如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A－BB1D1D的體積為________cm3.

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已知點(diǎn)P在z軸上，且滿足|OP|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1,1)的距離為________．

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如圖，在五棱錐P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC.∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的大��；

(3)求四棱錐P－ACDE的體積．

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