Question

18．已知f（x）是定義在R上奇函數(shù)，又f（2）=0，若x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0，則不等式xf（x）＜0的解集是（-2，0）U（0，2）．

Answer 1

分析 由題意可得F（x）=xf（x）為R上偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減，不等式xf（x）＜0等價(jià)于F（x）＜F（2），結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得．

解答 解：∵f（x）是定義在R上奇函數(shù)，
∴F（x）=xf（x）為R上偶函數(shù)，
又f（2）=0，∴F（2）=0，
∵x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0，
∴x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減，
不等式xf（x）＜0等價(jià)于F（x）＜0，即F（x）＜F（2），
由單調(diào)性可得2＜x＜2，
又F（0）=0，不滿足F（x）＜F（2），
故所求解集為（-2，0）U（0，2）
故答案為：（-2，0）U（0，2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，涉及構(gòu)造函數(shù)以及利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解不等式，屬中檔題．