【題目】一胸針圖樣由等腰三角形及圓心在中軸線上的圓弧構(gòu)成，已知，.為了增加胸針的美觀程度，設(shè)計(jì)師準(zhǔn)備焊接三條金絲線且長(zhǎng)度不小于長(zhǎng)度，設(shè).

（1）試求出金絲線的總長(zhǎng)度，并求出的取值范圍；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，金絲線的總長(zhǎng)度最小，并求出的最小值.

【答案】（1），[，)；（2），

【解析】

（1）由題可知，，，從而得出，，在中，根據(jù)正弦定理即可求出和，即可金絲線的總長(zhǎng)度，再根據(jù)長(zhǎng)度不小于長(zhǎng)度，即可求出的取值范圍；

（2）由（1）得且，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出的最小值.

解：（1）∵圓心在中軸線上，，，

∴，，

在中，，，，

根據(jù)正弦定理得：，

得，，

∴，

∵長(zhǎng)度不小于長(zhǎng)度，即，

∴，即，

又，解得：，

∴的取值范圍是[，).

（2）由（1）得，，

∴，此時(shí)單調(diào)遞增，

∴當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，為，

此時(shí)金絲線的總長(zhǎng)度最小，最小值為，

∴當(dāng)時(shí)，金絲線的總長(zhǎng)度最小，的最小值是.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓：（）和圓：，已知圓將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，橢圓右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，橢圓的下頂點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)、．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線、分別與橢圓相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)、.

①求證：直線經(jīng)過一定點(diǎn)；

②試問：是否存在以為圓心，為半徑的圓，使得直線和直線都與圓相交？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩地相距300千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過100千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度（千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為（），固定部分為1000元.

（1）把全程運(yùn)輸成本（元）表示為速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在①是與的等差中項(xiàng)；②是與的等比中項(xiàng)；③數(shù)列的前5項(xiàng)和為65這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線中，并解答下面的問題．

已知是公差為2的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，________________________．

（1）求；

（2）設(shè)，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：若一個(gè)函數(shù)存在極大值，且該極大值為負(fù)數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)為“函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知，，、，求證：當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)是“函數(shù)”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，若棱，，兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1，2，2，且向量與夾角的余弦值為.

（1）求的長(zhǎng)度；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.

（1）證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，Q為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的中點(diǎn)M到曲線的距離的最大值.

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