Question

若球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4π，則此球的體積為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：因?yàn)檎�三角形ABC的外徑r=2，故可以得到高，D是BC的中點(diǎn)．在△OBC中，又可以得到角以及邊與R的關(guān)系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．然后求出球的體積．
解答：因?yàn)榍蛎嫔嫌腥齻�(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，△ABC是正三角形，
過ABC的小圓周長(zhǎng)為4π，正三角形ABC的外接圓半徑r=2，故三角形ABC的高AD=r=3，D是BC的中點(diǎn)．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=R²+9，所以R=2．
所求球的體積為：=．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及對(duì)球的性質(zhì)認(rèn)識(shí)及利用，是中檔題．