Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)，且

FB

•

FA

=

2

+1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）關(guān)于直線2x-y=0的對稱點(diǎn)P′在橢圓C上，求z=4x₀+3y₀的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)F（-c，0），A（A，0），B（0，b）．由

FB

•

FA

=

2

+1得，ac+c²=

2

+1．e=

2

2

，解方程求解．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x′，y′），則

y′-y0 x′-x0 ×2=-1 2× x′+x0 2 - y′+y0 2 =0

，解得

x0= 4 5 y′- 3 5 x′ y0= 3 5 y′+ 4 5 x′

，代入橢圓的方程，根據(jù)自變量的范圍求解．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)焦距為2c（c＞0），則F（-c，0），A（A，0），B（0，b）．
由

FB

•

FA

=

2

+1得，ac+c²=

2

+1．
又∵e=

c

a

=

2

2

，解得a=

2

，c=1，∴b=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x′，y′），則

y′-y0 x′-x0 ×2=-1 2× x′+x0 2 - y′+y0 2 =0

，解得

x0= 4 5 y′- 3 5 x′ y0= 3 5 y′+ 4 5 x′

∴z=4x₀+3y₀=5y′．
∵P（x′，y′）在橢圓C上，∴-1≤y′≤1，
∴-5≤z≤5，即z=4x₀+3y₀的取值范圍為[-5，5]．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的方程，定義，直線與橢圓的位置關(guān)系，運(yùn)算仔細(xì)認(rèn)真．