Question

設(shè)f（x）=x²，g（x）=8x，數(shù)列{a_n}（n∈N*）滿足a₁=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n-1）+f（a_n-1）=0，記bn=

7

8

(n+1)(an-1)．（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)n為何值時(shí)，b_n取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）求出g（a_n-1），f（a_n-1）將它們代入已知等式得到關(guān)于a_n的等式，判斷出各項(xiàng)都不是1，將其變形得到
8（a_n+1-1）=7（a_n-1），利用等差數(shù)列的定義得到證明．
（II）作出數(shù)列{b_n}終相鄰兩項(xiàng)的商，通過討論n判斷出商與1的大小，即得到數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)一步得到b_n取最大值時(shí)n的值．
（III）由于數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)特點(diǎn)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積，利用錯(cuò)位相減的方法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得（a_n+1-a_n）•8（a_n-1）+（a_n-1）²=0．
即（a_n-1）（8a_n+1-7a_n-1）=0．                
∵a₁=2≠1，∴a₂≠1，同理a₃≠1，…，a_n≠1．
∴8a_n+1=7a_n+1．                          
即8（a_n+1-1）=7（a_n-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是以a₁-1=1為首項(xiàng)，

7

8

為公比的等比數(shù)列．  
（Ⅱ）由（1），得an-1=(

7

8

)n-1．
∴bn=(n+1)•(

7

8

)n．                 
則bn+1=(n+2)•(

7

8

)n+1．
∵

bn+1

bn

=

n+2

n+1

•

7

8

，設(shè)

bn+1

bn

≥1，則n≤6．
因此，當(dāng)n＜6時(shí)，b_n＜b_n+1；當(dāng)n=6時(shí)，b₆=b₇，當(dāng)n＞6時(shí)，b_n＞b_n+1．
∴當(dāng)n=6或7時(shí)，b_n取得最大值．                        
（Ⅲ）Sn=2•

7

8

+3•(

7

8

)2+4•(

7

8

)3+…+n•(

7

8

)n-1+(n+1)•(

7

8

)n

7

8

•Sn=2•(

7

8

)2+3•(

7

8

)3+4•(

7

8

)4+…+n•(

7

8

)n+(n+1)•(

7

8

)n+1
相減得：

1

8

•Sn=2•

7

8

+(

7

8

)2+(

7

8

)3+…+(

7

8

)n-(n+1)•(

7

8

)n+1=

7

8

+

7

8

×8×[1-(

7

8

)n]-(n+1)•(

7

8

)n+1
=

63

8

-(n+9)•(

7

8

)n+1
∴Sn=63-8(n+9)•(

7

8

)n+1．

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．常用的求和方法有：公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、分組法．