Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}，\;\;\;\;\;x≥0\\{2^x}，\;\;\;\;\;x＜0\end{array}\right.$，則f（-log₂3）=$\frac{1}{3}$；若$f（f（x））=\frac{1}{2}$，則x=1．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)定義得f（-log₂3）=${2}^{-lo{g}_{2}3}$，由此能求出結(jié)果．由$f（f（x））=\frac{1}{2}$，得當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-x²，f（f（x））=f（-x²）=${2}^{-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=2^x，f（f（x））=f（2^x）=-（2^x）²，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}，\;\;\;\;\;x≥0\\{2^x}，\;\;\;\;\;x＜0\end{array}\right.$，
∴f（-log₂3）=${2}^{-lo{g}_{2}3}$=$\frac{1}{{2}^{lo{g}_{2}3}}$=$\frac{1}{3}$．
∵$f（f（x））=\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-x²，f（f（x））=f（-x²）=${2}^{-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得x=±1，∴x=1；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=2^x，f（f（x））=f（2^x）=-（2^x）²=-2^2x=$\frac{1}{2}$，無解．
綜上，x=1．
故答案為：$\frac{1}{3}，1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分段函定義、對(duì)數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．