已知曲線C1:y=x2與C2:y=-(x-2)2,若直線l與C1、C2都相切,求直線l的方程.

分析：設(shè)出直線l與C1、C2的切點(diǎn)坐標(biāo),可以分別用一個(gè)參數(shù)來表示,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用斜率相等可求出兩切點(diǎn)的坐標(biāo).

解法一：設(shè)直線l與兩曲線的切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,a2),B(b,-(b-2)2).

因?yàn)閮汕�對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為y1′=2x,y2′=-2(x-2)，

所以在A、B兩點(diǎn)處兩曲線的斜率分別為y1′|x=a=2a,y2′|x=b=-2(b-2).

由題意,可得=2a=-2b+4,

解得

所以A為(2,4)或(0,0),切線的斜率k=4或0,從而得到切線l的方程為y=4x-4或y=0.

解法二：設(shè)l與C1、C2的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b,直線l的斜率為k,

根據(jù)題意,得y1′=2x,y2′=-2(x-2).

y1′|x=a=2a,y2′|x=b=-2(b-2).

由k=2a=-2b+4,可得a=,b=,

則l與C1、C2的切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

則,解得k=0或4.

故所求的切線方程為y=4x-4或y=0.

綠色通道:

本題是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)具體的應(yīng)用,在解題過程中一般先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),再利用方程組求出參數(shù)的取值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C1：
|x|
a
+
|y|
b
=1(a＞b＞0)所圍成的封閉圖形的面積為4
5
，曲線C1的內(nèi)切圓半徑為
2
5
3
．記C2為以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過橢圓C2中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)．
（1）若|MO|=λ|OA|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C1：
x=-4+cost
y=3+sint
（t為參數(shù)），C2：
x=8cosθ
y=3sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將C1，C2的方程化為普通方程；
（Ⅱ）若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為DF=
MF2+DM2
=
302+1702
=10
198
，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：x-2y-7=0距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南）在直角坐標(biāo)系xoy 中，已知曲線C1：
x=t+1
y=1-2t
（t為參數(shù)）與曲線C2：
x=asinθ
y=3cosθ
（θ為參數(shù)，a＞0 ）有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上，則a等于
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•綿陽二模）已知曲線C1：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）和曲線C2=：x2+y2-2
3
x+2y+3=0義于直線l1對(duì)稱，直線l2過原點(diǎn)且與l1的夾角為30°，則直線l2的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C1：
x=-2+cost
y=1+sint
 （t為參數(shù)），C2：
x=4cosθ
y=3sinθ
（q為參數(shù)）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）過曲線C2的左頂點(diǎn)且傾斜角為
π
4
的直線l交曲絨C1于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

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同步練習(xí)冊(cè)答案