Question

10．已知數列{a_n}的前n和為S_n，若a_n=2n（n∈N*），則數列{$\frac{1}{S_n}}\right.$}的前n項和為（　�。�

• A． $\frac{n}{n+1}$
• B． $\frac{n-1}{n}$
• C． $\frac{n+1}{n}$
• D． $\frac{n}{n-1}$

Answer 1

分析 由a_n=2n（n∈N*），可知數列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數列，根據等差數列前n項和公式求得S_n，由$\frac{1}{S_n}}\right.$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，因此T_n=$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{S_i}=}\sum_{i=1}^n{（\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}）=}1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，即可求得則數列{$\frac{1}{S_n}}\right.$}的前n項和．

解答 解：由a_n=2n（n∈N*），
∴數列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數列，
∴數列的前n項和S_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{S_n}}\right.$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則數列{$\frac{1}{S_n}}\right.$}的前n項和T_n，T_n=$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{S_i}=}\sum_{i=1}^n{（\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}）=}1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
故選：A．

點評 本題考查等差數列的通項公式及前n項和公式，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．