Question

已知函數(shù)f（x）=（1+a）^|x|（a＞-1，a∈R）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-

1

2

時，記a_n=n•f（n），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：

1

2

≤Sn＜2；
（3）當(dāng)a=2且x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]時，探求

m2+n2-2m

n+1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=（1+a）^x為增函數(shù)，則1+a＞1，從而求出a的范圍；
（2）當(dāng)a=-

1

2

時，an=n•(

1

2

)n，然后利用錯位相消法求出S_n，再根據(jù){S_n}遞增，即可求出S_n的范圍；
（3）當(dāng)a=2時，f（x）=3^|x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，由x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]及圖象可得：

m=-2 n∈[0，2]

或

n=2 m∈[-2，0]

，然后分別在兩種情況下利用基本不等式和二次函數(shù)求出取值范圍即可．

解答：解：（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=（1+a）^x為增函數(shù)，⇒1+a＞1⇒a＞0--------------（3分）
（2）當(dāng)a=-

1

2

時，an=n•(

1

2

)n--------------（4分）
Sn=(

1

2

)+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n

1

2

•Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n+1，錯位相減可得：Sn=2-(2+n)•(

1

2

)n-----（8分）
顯然Sn=2-(2+n)•(

1

2

)n＜2------------（9分）
又，n≥2時，Sn-Sn-1=an=n•(

1

2

)n＞0，所以，{S_n}遞增，Sn≥S1=

1

2

綜上，

1

2

≤Sn＜2------------（10分）
（3）當(dāng)a=2時，f（x）=3^|x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱．
由x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]及圖象可得：

m=-2 n∈[0，2]

或

n=2 m∈[-2，0]

若

m=-2 n∈[0，2]

，則

m2+n2-2m

n+1

=

n2+8

n+1

，令n+1=t∈[1，3]，
所以

m2+n2-2m

n+1

=t+

9

t

-2∈[4，8]-------------（14分）
若

n=2 m∈[-2，0]

，則

m2+n2-2m

n+1

=

1

3

(m2-2m+4)=

1

3

(m-1)2+1∈[

4

3

，4]-------------（18分）

點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了利用基本不等式和二次函數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．