Question

如圖，設(shè)圓x²+y²=12與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點．
（I）若過點F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個不同的點，從左至右依次為P₁，P₂，P₃，P₄，求|P₁P₂|+|P₃+P₄|的值；
（II）若直線m與拋物線相交于M，N兩點，且與圓相切，切點D在劣弧

AB

上，求|MF|+|NF|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由圓的方程和拋物線的方程聯(lián)解，求得交點A、B的坐標，從而判斷直線l與圓交于P₁、P₃，直線l與拋物線交于P₂、P_4，
另|P₁P₂|+|P₃+P₄|的表達式用P₁，P₂，P₃，P₄的四點的橫坐標表示，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，代入表達式，即解．
（II）先設(shè)直線m的方程y=k+b，交點M、N坐標，再用點M、N縱坐標表示出|MF|+|NF|，由與圓相切，得到k與b的關(guān)系，
消去k用b表示|MF|+|NF|，即得到關(guān)于b的一個函數(shù)，由kOA=-

2

2

，kOB=

2

2

，得到k的范圍，由此求得b的范圍，
再將b的代入|MF|+|NF|的函數(shù)關(guān)系式中并求出其范圍．

解答：解：（1）由

x2+y2=12 x2=4y

，得

x=2 2 y=2

或

x=-2 2 y=2

，
即A（-2

2

，2），B（2

2

，2）．
∵點F坐標為（0，1），∴kFB-

1

2 2

=

2

4

，所以kl＞kFB，
所以直線l與圓交于P₁、P₃兩點，與拋物線交于P₂、P₄兩點，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄）
把直線l方程：y=x+1代入x²=4y，得x²-4x-4=0，∴x₂+x₄=4；
把直線l方程：y=x+1代入x²+y²=12，得2x²+2x-11=0，∴x₁+x₃=-1
∴|P1P2|=

1+k2

•|x1-x2|=

2

(x2-x1)
∴|P3P4|=

1+k2

•|x3-x4|=

2

(x4-x3)
∴|P1P2|+|P3P4|=

2

[(x2-x1)+(x4-x3)]=

2

[(x2+x4)-(x1+x3)]
=

2

[4-(-1)]=5

2

．
所以|P₁P₂|+|P₃+P₄|的值等于5

2

．
（II）設(shè)直線m的方程為y=k+b（b＞0），
代入拋物線方程得x²-4kx-4b=0，
設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=4k²+2b，
∵直線m與該圓相切，∴

b

k2+1

=

12

即 k2=

b2

12

-1，
又|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
∴|MF|+|NF|=y₁+y₂+2=4k²+2b+2=

b2

3

+2b-2=

1

3

(b+3)2 -5
∵kOA=-

2

2

，kOB=

2

2

，∴分別過A、B的圓的切線的斜率為

2

，-

2

．
∴k∈[-

2

，

2

]∴0≤k²≤2，∴0≤

b2

12

-1≤12，又b＞0，∴b∈[2

3

，6]
所以|MF|+|NF|的取值范圍為[2+4

3

，22]．

點評：此題考查用坐標法解決圓錐曲線問題，在解題過程中還考查了弦長公式的運用，同時還考查學生的計算技巧中設(shè)而不求的方法．