Question

某城市的夏季室外溫度y（℃）的波動(dòng)近似地按照規(guī)則y=25+6

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+6

2

cos（

π

12

t+

3

4

π），其中t（h）是從某日0點(diǎn)開始計(jì)算的時(shí)間，且t≤24．
（1）若在t₀h（t₀≤6）時(shí)的該城市室外溫度為19℃，求在t₀+8h時(shí)的城市室外溫度；
（2）某名運(yùn)動(dòng)員要在這個(gè)時(shí)候到該城市參加一項(xiàng)比賽，計(jì)劃在比賽當(dāng)天的10時(shí)抵達(dá)，且于當(dāng)天16時(shí)離去，而該運(yùn)動(dòng)員一旦到室外溫度超過36℃的地方就會(huì)影響正常發(fā)揮，試問該運(yùn)動(dòng)員會(huì)不會(huì)因?yàn)闅鉁赜绊懚�不能正常發(fā)揮？

Answer 1

分析：（1）先將函數(shù)進(jìn)行化簡，再利用在t₀h（t₀≤6）時(shí)的該城市室外溫度為19℃，求出t₀，進(jìn)而可求在t₀+8h時(shí)的城市室外溫度；
（2）先求出t（h）從10時(shí)到16時(shí)，城市室外溫度的最大值，再與36進(jìn)行比較，從而可確定該運(yùn)動(dòng)員會(huì)不會(huì)因?yàn)闅鉁赜绊懚�不能正常發(fā)揮．

解答：解：∵y=25+6

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+6

2

cos（

π

12

t+

3

4

π），
∴y=25+12[

2

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+

2

2

cos（

π

12

t+

3

4

π）]，
∴y=25+12sin（

π

12

t+

3

4

π+

π

4

）=25-12sin

π

12

t
（1）∵在t₀h（t₀≤6）時(shí)的該城市室外溫度為19℃，
∴19=25-12sin

π

12

t0（t₀≤6）
∴sin

π

12

t0=

1

2

，∴t₀=2
∴t₀+8=10，
∴y=25-12sin

π

12

×10=25-6=19
∴在t₀+8h時(shí)的城市室外溫度為19℃；
（2）由題意得，t∈[10，16]，

π

12

t∈[

5π

6

，

4π

3

]，sin

π

12

t∈[-

3

2

，

1

2

]，
∴y=25-12sin

π

12

t∈[19，25+6

3

]
即t∈[10，16]，ymax=25+6

3

比較25+6

3

與36的大小，即比較6

3

與11的大小，
∵6

3

＜11
∴25+6

3

＜36
∴該運(yùn)動(dòng)員不會(huì)因?yàn)闅鉁赜绊懚�不能正常發(fā)揮．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于具體的三角函數(shù)模型，考查三角函數(shù)的化簡，考查利用三角函數(shù)解決具體問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力．