已知f(x)=
x+a
x2+bx+1
是奇函數(shù)，且x∈[-1，1]，試判斷其單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=
x+a
x2+bx+1
是奇函數(shù)，且定義域?yàn)閇-1，1]，
所以
f(0)=a=0
f(-1)=
-1
2-b
=-f(1)=-
1
2+b
，解得
a=0
b=0
，
所以f(x)=
x
x2+1
，
f（x）在x∈[-1，1]上是增函數(shù)，下面證明：
設(shè)x1，x2是定義域內(nèi)的任意兩實(shí)數(shù)，且x1＜x2，
所以f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
，
因?yàn)?1≤x1＜x2≤1，所以x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•深圳一模）已知f(x)=x-
a
x
(a＞0)，g（x）=2lnx+bx，且直線y=2x-2與曲線y=g（x）相切．
（1）若對(duì)[1，+∞）內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求最大的正整數(shù)k，使得對(duì)[e，3]（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，…，xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立；
（3）求證：
n
i=1
4i
4i2-1
＞ln(2n+1)(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若數(shù)學(xué)公式，設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/769.png' />，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=(x-a)(x-b)-2的兩個(gè)零點(diǎn)分別為α、β.則(    )

A.a＜α＜b＜β                             B.α＜a＜b＜β

C.a＜α＜β＜b                             D.α＜a＜β＜b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a＜b),且α、β是方程f(x)=0的兩根(α＜β),則實(shí)數(shù)a、b、α、β的Z小關(guān)系為(    )

A.α＜a＜b＜β                         B.α＜a＜β＜b

C.a＜α＜b＜β                         D.a＜α＜β＜b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年高三數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若，設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214609557716869/SYS201310232146095577168019_ST/2.png">，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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