Question

設函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為實數，且a≠0），F（x）=
（1）若f（-1）=0，曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在點（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，求f（x）的表達式；
（2）在（Ⅰ）在條件下，當x∈[-1，1]時，g（x）=kx-f（x）是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）設mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）為偶函數，證明F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

解：（1）因為f（x）=ax²+bx+c，所以f'（x）=2ax+b．
又曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．①
因為f（-1）=0，所以b=a+c．②
又因為曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），
所以c=2a+3．③
解由①，②，③組成的方程組，得a=-3，b=-6，c=-3．
從而f（x）=-3x²-6x-3．…（4分）
（2）由（Ⅰ）知f（x）=-3x²-6x-3，
所以g（x）=kx-f（x）=3x²+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1，1]上是單調函數知：或，
得 k≤-12或k≥0．…（9分）
（3）因為f（x）是偶函數，可知b=0．
因此f（x）=ax²+c．…（10分）
又因為mn＜0，m+n＞0，
可知m，n異號．
若m＞0，則n＜0．
則F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+c-an²-c=a（m+n）（m-n）＞0．…（12分）
若m＜0，則n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
綜上可知F（m）+F（n）＞0．…（14分）
分析：（1）由f（x）=ax²+bx+c，知f'（x）=2ax+b．由曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，推導出b=2a，由f（-1）=0，知b=a+c．由曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），知c=2a+3，由此能求出f（x）的表達式．
（2）由f（x）=-3x²-6x-3，知g（x）=kx-f（x）=3x²+（k+6）x+3．由g（x）在[-1，1]上是單調函數，能求出k的取值范圍．
（3）由f（x）是偶函數，知f（x）=ax²+c．由mn＜0，m+n＞0，知m，n異號．由此能證明F（m）+F（n）＞0．
點評：本題考查函數的解析式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，注意導數性質和等價轉化思想的合理運用．