已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(2)=0,且方程f(x)=x有兩個相等的實數(shù)根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值;
(3)是否存在實數(shù)m,n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n],如果存在,求出m,n的值,如不存在,請說明理由.
解:(1)∵f(2)=0∴4a+2b=0 ①
又方程f(x)=x有等根,即ax
2+bx-x=0的判別式為零
∴(b-1)
2=0
∴b=1
代入①a=-

∴f(x)=

(2)

∴函數(shù)的對稱軸為x=1
∴當(dāng)x=1時,函數(shù)取得最大值為

;
當(dāng)x=-3時,函數(shù)取得最小值為

;
(3)∵

,f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n],
∴

∴

而f(x)=

的對稱軸為x=1,
∴當(dāng)n≤

時,f(x)在[m,n]上為增函數(shù).
若滿足題設(shè)條件的m,n存在,則

即

∴

∵m<n≤

.
∴m=-2,n=0,這時,定義域為[-2,0],值域為[-4,0].
由以上知滿足條件的m,n存在,m=-2,n=0.
分析:(1)由方程f(x)=x有兩個相等的實數(shù)根,則△=0,得b,又由f(2)=0,可求a,從而求得f(x).
(2)先配方確定函數(shù)的對稱軸,從而可求函數(shù)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值;
(3)由的最大值,確定n≤

,從而知當(dāng)n≤

時,f(x)在[m,n]上為增函數(shù).若滿足題設(shè)條件的m,n存在,則

,從而可求m,n的值.
點評:本題以二次函數(shù)為載體,考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,考查二次函數(shù)解析式的常用解法及分類討論,轉(zhuǎn)化思想,充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.