已知函數(shù)f(x)=exsinx
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)當x∈[0,
π
2
]時,f(x)≥kx,求實數(shù)k的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)零點的判定定理
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(1)f′(x)=exsinx+excosx=
2
exsin(x+
π
4
)
,分別解出f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出單調區(qū)間;
(2)令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,即g(x)≥0恒成立,而g′(x)=ex(sinx+cosx)-k,令h(x)=ex(sinx+cosx),利用導數(shù)研究函數(shù)h(x)的單調性可得:在[0,
π
2
]
上單調遞增,1≤h(x)≤e
π
2
,對k分類討論,即可得出函數(shù)g(x)的單調性,進而得出k的取值范圍.
解答: 解:(1)f′(x)=exsinx+excosx=
2
exsin(x+
π
4
)
,
x∈(2kπ-
π
4
,2kπ+
4
)
時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增,
x∈(2kπ+
4
,2kπ+
4
)
,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減.

(2)令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,即g(x)≥0恒成立,
而g′(x)=ex(sinx+cosx)-k,
令h(x)=ex(sinx+cosx),h′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.
∵x∈[0,
π
2
]
,h′(x)≥0,∴h(x)在[0,
π
2
]
上單調遞增,1≤h(x)≤e
π
2

當k≤1時,g′(x)≥0,g(x)在[0,
π
2
]
上單調遞增,g(x)≥g(0)=0,符合題意;
k≥e
π
2
時,g′(x)≤0,g(x)在[0,
π
2
]
上單調遞減,g(x)≤g(0),與題意不合;
1<k<e
π
2
時,g′(x)為一個單調遞增的函數(shù),而g′(0)=1-k<0,g(
π
2
)
=e
π
2
-k>0,
由零點存在性定理,必存在一個零點x0,使得g′(x0)=0,
當x∈[0,x0)時,g′(x)≤0,從而g(x)在此區(qū)間上單調遞減,從而g(x)≤g(0)=0,與題意不合,
綜上所述:k的取值范圍為(-∞,1].
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求凼數(shù)y=
cosx
lg(1+tanx)
的定義域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的圖象的第一部分如圖所示,則( 。
A、f(x)的最小正周期為2π
B、f(x)的圖象關于直線x=
π
3
對稱
C、f(x)的圖線關于點(
12
,0)對稱
D、f(x)在[0,
π
2
]上是增函數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知8個非零實數(shù)a1,a2,a3,…,a8,向量
OA1
=(a1,a2)
,
OA2
=(a3,a4),
OA3
=(a5,a6),
OA4
=(a7,a8),對于下列命題:
①a1,a2,a3,…,a8為等差數(shù)列,則存在i,j(1≤i,j≤8,i≠j,i,j∈N*),使
4
k=1
OAk
與向量
n
=(aiaj)
共線;
②若a1,a2,a3,…,a8為公差不為0的等差數(shù)列,
n
=(ai,aj)
(i≠j,i,j∈N*,1≤i,j≤8),
q
=(1,1),M={y|y=
n
q
}
,則集合M中元素有13個;
③若a1,a2,a3,…,a8為等比數(shù)列,則對任意i,j(1≤i,j≤4,i,j∈N*),都有
OAi
OAj

④若a1,a2,a3,…,a8為等比數(shù)列,則存在i,j(1≤i,j≤4,i,j∈N*),使
OAi
OAj
<0;
⑤若
m
=
OAi
OAj
(i≠j,1≤i,j≤4,i,j∈N*),則
m
的值中至少有一個不小于0.
上述命題正確的是
 
(填上所有正確命題的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題正確的是(  )
A、直線a與平面α不平行,則a與平面α內的所有直線都不平行
B、直線a與平面α不垂直,則a與平面α內的所有直線都不垂直
C、異面直線a,b不垂直,則過a的任何平面與b都不垂直
D、若直線a和b共面,直線b和c共面,則a和c共面

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}共有2n-1項,則其奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比為( 。
A、
n-1
n
B、
n+1
n
C、
n
n-1
D、
n+1
n-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線3x+4y-2=0和2x+y+2=0的交點M,且與直線y=
3
3
x平行的直線方程為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

觀察下列不等式:
1+
1
3
5
2

(1+
1
3
)(1+
1
5
7
2

(1+
1
3
)(1+
1
5
)(1+
1
7
9
2


則第n-1一不等式為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)+f(-x)=3x+2,則f(2)=( 。
A、-
16
3
B、-
20
3
C、
16
3
D、
20
3

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