Question

已知函數(shù)f（x）=e^xsinx
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，f（x）≥kx，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=

2

e^xsin(x+

π

4

)，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，令h（x）=e^x（sinx+cosx），利用導數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調性可得：在[0，

π

2

]上單調遞增，1≤h(x)≤e

π

2

，對k分類討論，即可得出函數(shù)g（x）的單調性，進而得出k的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=

2

e^xsin(x+

π

4

)，
當x∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增，
x∈(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減．

（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx．
∵x∈[0，

π

2

]，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，

π

2

]上單調遞增，1≤h(x)≤e

π

2

，
當k≤1時，g′（x）≥0，g（x）在[0，

π

2

]上單調遞增，g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當k≥e

π

2

時，g′（x）≤0，g（x）在[0，

π

2

]上單調遞減，g（x）≤g（0），與題意不合；
當1＜k＜e

π

2

時，g′（x）為一個單調遞增的函數(shù)，而g′（0）=1-k＜0，g′(

π

2

)=e

π

2

-k＞0，
由零點存在性定理，必存在一個零點x₀，使得g′（x₀）=0，
當x∈[0，x₀）時，g′（x）≤0，從而g（x）在此區(qū)間上單調遞減，從而g（x）≤g（0）=0，與題意不合，
綜上所述：k的取值范圍為（-∞，1]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．