Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax，a∈R．．
（1）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出其導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)a分類討論后，找到導(dǎo)數(shù)大于0，以及小于0對應(yīng)的區(qū)間即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（注意是在定義域內(nèi)找）；
（2）函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）=2x+

1

x

-a≥0在x∈（0，1）上恒成立，即2x+

1

x

≥a在xx∈（0，1）上恒成立，再利用基本不等式求出不等式左邊的最小值即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由于f′（x）=2x+

1

x

-a=

2x2-ax+1

x

（a＞0，x＞0）
①當a＞2

2

時，△=a²-4×2×1=a²+8＞0，令f′（x）＞0，解得 0＜x＜

a- a2-8

4

或x＞

a+ a2-8

4

則f（x）的增區(qū)間是(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)，減區(qū)間是(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)；
②當0＜a≤2

2

時，△=a²+8≤0，則f′（x）≥0恒成立
故f（x）的增區(qū)間是（0，+∞）．
（2）由于函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
則f′（x）=2x+

1

x

-a≥0在x∈（0，1）上恒成立，
即2x+

1

x

≥a在xx∈（0，1）上恒成立，
令g（x）=2x+

1

x

，
則g（x）≥2

2x• 1 x

=2

2

．
∴a≤2

2

．
實數(shù)a的取值范圍a≤2

2

．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是．教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．