Question

已知半球O的半徑為1，它的內(nèi)接長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的一個面ABCD在半球O的底面上，則該長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大值為

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．

Answer 1

分析：連接OA₁，OA，令OA₁與底面的夾角為α，則可用球的半徑與α的三角函數(shù)值將棱柱的高與底面邊長表示出來，由此可以將棱柱的體積表示成解α的函數(shù)，求這個三角函數(shù)的最大值即可得到該正四棱柱體積的最大值

解答：解：令球心為O，底面邊長為a，連接OA₁，OA，令OA₁與底面的夾角為α，則OA₁=1，則棱柱的高是sinα，底面正方形的對角線長的一半是cosα，即 2a=2cosα，由此得底面邊長是 2cosα
故正四棱柱的體積是V=2cos2α×sinα=2cos2αsinα
V'=2（-2cosαsin2α+cos3α）=2osα（-2+3cos2α）
令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos2α=23，即sin2α=13，sinα=33
由此知正四棱柱體積的最大值為V=

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，
故答案為：

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點(diǎn)評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，求解本題關(guān)鍵是建立三角函數(shù)模型將正四棱柱體積用三角函數(shù)模型表示出來，然后借助導(dǎo)數(shù)研究出三角函數(shù)的最大值得出體積的最大值來，本題屬于三角函數(shù)模型在求面積中的應(yīng)用，根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ褪墙鉀Q一個實(shí)際問題的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)時要注意積累此類題中模型的建立方法．