【題目】
已知橢圓的離心率為,且點在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若斜率為k的直線交橢圓于A,B兩點,求△OAB面積的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)4.
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于 、 、的方程組,結(jié)合性質(zhì) , ,求出 、 、,即可得結(jié)果;(Ⅱ)直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直線與曲線聯(lián)立,以△OAB的面積S=|m||x1-x2|根據(jù)韋達定理,弦長公式將三角形面積用 , 表示,換元求最值即可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)由已知得, , 解得, ,
橢圓的方程是.
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
將y=kx+m代入橢圓的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,
由Δ>0,可得m2<4+16k2,①
則有x1+x2=-,x1x2=.
所以|x1-x2|=.
因為直線y=kx+m與y軸交點的坐標為(0,m),
所以△OAB的面積S=|m||x1-x2|
===
設(shè)=t,由①可知0<t<4,
因此S=2=2,故S≤4,
當且僅當t=2時取得最大值4.
所以△OAB面積的最大值為4.
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【題目】函數(shù)f(x)=log (x2﹣ax+3)在(﹣∞,1)上單調(diào)遞增,則a的范圍是( )
A.(2,+∞)
B.[2,+∞)
C.[2,4]
D.[2,4)
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【題目】對于函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n],同時滿足下列條件:
1)f(x)在[m,n]上是單調(diào)的;
2)當定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n],則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.若函數(shù)f(x)= ﹣ (a>0)存在“和諧區(qū)間”,則實數(shù)a的取值范圍是 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣ +a,x∈[1,6],a∈R.
(1)若a=1,試判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當a∈(1,6)時,求函數(shù)f(x)的最大值的表達式M(a).
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【題目】已知函數(shù)f(x)= cosx(sinx+cosx).
(1)若0<α< ,且sinα= ,求f(α)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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【題目】如圖所示,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當x0=1-時,切線MA的斜率為-.
(1)求p的值;
(2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O).
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【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C,滿足sinC= .
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)設(shè)三邊a,b,c成等差數(shù)列且S△ABC=6cm2 , 求△ABC三邊的長.
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【題目】已知雙曲線經(jīng)過點M( ).
(1)如果此雙曲線的漸近線為 ,求雙曲線的標準方程;
(2)如果此雙曲線的離心率e=2,求雙曲線的標準方程.
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