Question

下列函數(shù)一定是奇函數(shù)的是

①③④

①f（x）=|ax+b|-|ax-b|；
②f（x）=ax²+bx+c；
③f(x)=1+

2

3x-1

；
④f(x)=1-

2

3x+1

．

Answer 1

分析：先確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即判斷f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，從而確定答案．

解答：解：對于①，f（x）=|ax+b|-|ax-b|的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（-x）=|-ax+b|-|-ax-b|=|ax-b|-|ax+b|=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
對于②，f（x）=ax²+bx+c的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（-x）=a（-x）²+b•（-x）+c=ax²-bx+c，
∴當(dāng)a≠0或c≠0時，f（-x）≠-f（x），
∴f（x）不一定為奇函數(shù)；
對于③，f(x)=1+

2

3x-1

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（-x）+f（x）=1+

2

3-x-1

+1+

2

3x-1

=2+

2(3-x+3x-2)

(3-x-1)(3x-1)

=2+

2(3-x+3x-2)

2-3-x-3x

=2+（-2）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
對于④，f(x)=1-

2

3x+1

的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（-x）+f（x）=1-

2

3-x+1

+1-

2

3x+1

=2-

2(3-x+3x+2)

(3-x+1)(3x+1)

=2-

2(3-x+3x+2)

3-x+3x+2

=2-2=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
綜上所述，一定是奇函數(shù)的是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷．奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．要掌握常見的基本初等函數(shù)的奇偶性，注意有關(guān)奇偶性性質(zhì)和結(jié)論的應(yīng)用．屬于中檔題．