Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N*），令．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；   
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N*），得n≥2，n∈N^*時，S_n-1=2a_n-1-2^n-1，再由a_n=S_n-S_n-1整理出a_n=2a_n-1+2^n-1．此方程的兩邊同除以2ⁿ可得到n≥2時，b_n-b_n-1是一個常數(shù)，從而由等差數(shù)列的定義證得結(jié)論；
（2）由（1）知，，結(jié)合易得{a_n}的通項公式
解答：證明：（1）因為S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N*），則n≥2，n∈N^*時，S_n-1=2a_n-1-2^n-1，
此時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ-2a_n-1+2^n-1=2a_n-2a_n-1-2^n-1，
即a_n=2a_n-1+2^n-1．
由a₁=2a₁-2得a₁=2．由得．
當(dāng)n≥2時，b_n-b_n-1==，
所以{b_n}是首項為1，公差為的等差數(shù)列．
解（2）由（1）知，，即 =，
所以{a_n}的通項公式為 a_n=（n+1）•2^n-1．
點評：本題考查數(shù)列的遞推式及等差關(guān)系的確定，等比數(shù)列的通項公式，解題的關(guān)鍵是對所給的遞推關(guān)系進行合理變形證得{b_n}是首項為1，公差為的等差數(shù)列，這也是本題的難點