Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且對(duì)任意正數(shù)X均有f′(x)＞

f(x)

x

，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

• A、y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
• B、y=

  f(x)

  x

  在（0，+∞）上為減函數(shù)
• C、若x₁，x₂∈（0，+∞）則f（（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）
• D、若x₁，x₂∈（0，+∞），則f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）

Answer 1

分析：由于函數(shù)為抽象函數(shù)．所以此題只能從f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），且對(duì)任意正數(shù)x均有f′(x)＞

f(x)

x

入題，得到x＞0時(shí)，

f(x)

x

為單調(diào)遞增函數(shù)，利用不等式的性質(zhì)即可．

解答：解：由f′（x）＞

f(x)

x

?

xf′(x)-f(x)x

＞0，
又x＞0?

xf′(x)-f(x)x2

＞0 即：[

f′(x)

x2

]′＞0?

f(x)

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又x₁，x₂∈（0，+∞）?

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

即：（x₁+x₂）f（x₁）＜x₁f（x₁+x₂）①
同理：（x₁+x₂）f（x₂）＜x₂f（x₁+x₂）②
 ①+②得：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．
故答案選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性，還考查了不等式的性質(zhì)．