Question

12．若冪函數(shù)y=x^a過點(diǎn)（2，4），則函數(shù)y=log_a（x²-2x-3）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）．

Answer 1

分析 由題意求出a=2，然后求出對數(shù)型函數(shù)的定義域，根據(jù)內(nèi)函數(shù)t=x²-2x-3在（-∞，-1）上為減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：∵冪函數(shù)y=x^a過點(diǎn)（2，4），
∴2^a=4，即a=2．
則函數(shù)y=log_a（x²-2x-3）=$lo{g}_{a}（{x}^{2}-2x-3）$．
由x²-2x-3＞0，解得：x＜-1或x＞3．
∴函數(shù)y=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-2x-3）$的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（3，+∞），
函數(shù)t=x²-2x-3在（-∞，-1）上為減函數(shù)，
而外函數(shù)y=log₂t為定義域內(nèi)的增函數(shù)，
∴函數(shù)y=log_a（x²-2x-3）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）．
故答案為：（-∞，-1）．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．