Question

某電視生產(chǎn)廠家有A、B兩種型號(hào)的電視機(jī)參加家電下鄉(xiāng)活動(dòng)．若廠家投放A、B型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值分別為p、q萬(wàn)元，農(nóng)民購(gòu)買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為

1

10

p，

2

5

lnq萬(wàn)元．已知廠家把總價(jià)值為10萬(wàn)元的A、B兩種型號(hào)電視機(jī)投放電場(chǎng)，且A、B型號(hào)的電視機(jī)投放金額不低于1萬(wàn)元，請(qǐng)你制訂一個(gè)投放方案，使得在這次活動(dòng)中農(nóng)民得到的補(bǔ)貼最多，并求出最大值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4=1.4）

Answer 1

分析：先設(shè)B型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值為x萬(wàn)元（1≤x＜9），農(nóng)民得到的補(bǔ)貼為y萬(wàn)元，由題意得，函數(shù)y的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最大值，從而得到分配方案，求出最大值．

解答：解：設(shè)B型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值為x萬(wàn)元（1≤x＜9），農(nóng)民得到的補(bǔ)貼為y萬(wàn)元，
則A型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值為（10-x）萬(wàn)元，
由題意得，
y=

1

10

（10-x）+

2

5

lnx=

2

5

lnx-

1

10

x+1
y′=

2

5x

-

1

10

由y′=0得，x=4
當(dāng)x∈[1，4）時(shí)，y′＞0，
當(dāng)x∈（4，9]時(shí)，y′＜0
所以當(dāng)x=4時(shí)，y取最大值，
y_max=

2

5

ln4-0.4+1≈1.2
即廠家分別投放A、B兩型號(hào)電視機(jī)6萬(wàn)元和4萬(wàn)元時(shí)，農(nóng)民得到補(bǔ)貼最多，最多補(bǔ)貼約1.2萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．其中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．