(2012•北京)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖2.
(1)求證:DE∥平面A1CB;
(2)求證:A1F⊥BE;
(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.
分析:(1)D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),易證DE∥平面A1CB;
(2)由題意可證DE⊥平面A1DC,從而有DE⊥A1F,又A1F⊥CD,可證A1F⊥平面BCDE,問題解決;
(3)取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,則PQ∥BC,平面DEQ即為平面DEP,由DE⊥平面,P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn),可證A1C⊥平面DEP,從而A1C⊥平面DEQ.
解答:解:(1)∵D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),
∴DE∥BC,又DE?平面A1CB,
∴DE∥平面A1CB,
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
∴DE⊥AC,
∴DE⊥A1D,又DE⊥CD,
∴DE⊥平面A1DC,而A1F?平面A1DC,
∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD,
∴A1F⊥平面BCDE,
∴A1F⊥BE.
(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如圖,分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,則PQ∥BC.
∵DE∥BC,
∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即為平面DEP.由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC,
∴DE⊥A1C,
又∵P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn),
∴A1C⊥DP,
∴A1C⊥平面DEP,從而A1C⊥平面DEQ,
故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定與性質(zhì),考查學(xué)生的分析推理證明與邏輯思維能力,綜合性強(qiáng),屬于難題.
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(2012•北京)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1)求證:A1C⊥平面BCDE;
(2)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大小;
(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由.

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 [2012·北京卷] 如圖1-9(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,DE分別為ACAB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1FCD,如圖1-9(2).

(1)求證:DE∥平面A1CB

(2)求證:A1FBE;

(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.

圖1-9

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2012·北京卷] 如圖1-9(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,DE分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1FCD,如圖1-9(2).

(1)求證:DE∥平面A1CB

(2)求證:A1FBE;

(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.

圖1-9

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