Question

設(shè)f（x）=ax²+bx+c，若f（1）=

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2

，問(wèn)是否存在a、b、c∈R，使得不等式x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先由已知條件求出f（x）的解析式，然后證明x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立即可．

解答：解：由f（1）=

7

2

，得a+b+c=

7

2

．令x²+

1

2

=2x²+2x+

3

2

?x=-1．
由f（x）≤2x²+2x+

3

2

推得f（-1）≤

3

2

，
由f（x）≥x²+

1

2

推得f（-1）≥

3

2

，
∴f（-1）=

3

2

．
∴a-b+c=

3

2

．故a+c=

5

2

且b=1．
∴f（x）=ax²+x+

5

2

-a．
依題意ax²+x+

5

2

-a≥x²+

1

2

對(duì)一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=

3

2

．
∴f（x）=

3

2

x²+x+1．
證明如下：

3

2

x²+x+1-2x²-2x-

3

2

=-

1

2

x²-x-

1

2

=-

1

2

（x+1）²≤0．
∴

3

2

x²+x+1≤2x²+2x+

3

2

對(duì)x∈R都成立．
∴存在實(shí)數(shù)a=

3

2

，b=1，c=1，
使得不等式x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

對(duì)一切x∈R都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，難度一般，關(guān)鍵是先求出f（x）的解析式再證明．